CDC

要約 問題: Protasov（1996年）が示した O(d²) の上界に対し、既知の下界はわずか Ω(d) —— d の一次のギャップが30年間未解決だった 解決: UC Berkeley IEOR の Phillip Kerger 教授が GPT-5.6 Sol Pro を用い、148分の単一セッションで下界 Ω(d²/log d) を証明 手法: OpenAI が Cycle Double Cover（CDC）予想で成功したプロンプト方法論を厳密に再現。10ページのプロンプトを GPT-5.6 Sol Pro と共同設計 検証: Lean で形式検証済み。証明コードは GitHub で公開中 意義: CDC 予想に続く2例目のAI数学ブレークスルー。GPT-5.4/5.5 では1年間試みて失敗した問題が GPT-5.6 Sol で解決された 1. 30年間開いていたギャップ 凸最適化の理論には「オラクル複雑性」と呼ばれる基本的な問いがある。それは「ある関数の値を何回評価すれば、最適解に十分近い点を見つけられるか」というものだ。特にゼロ次（derivative-free）凸最適化では、勾配情報が得られず、関数値だけが観測できる。この設定は、物理シミュレーションや実験パラメータの調整など、勾配が計算できない現実問題に直接対応する。 形式化するとこうなる：d 次元のユークリッド単位球 B_d 上で定義された凸かつ 1-Lipschitz な関数 f を考えよう。アルゴリズムは f(x) の値だけを観測でき、勾配は得られない。その代わり、アルゴリズムは無限の計算資源とメモリを使ってよい。 Protasov（1996年） は O(d²) 回の関数評価で ε 最適解を得られるアルゴリズムを示した。これが上界だ。しかし下界（どれだけ少ない回数では絶対に解けないか）は Ω(d) しか知られていなかった。この Ω(d) は、勾配も得られる一次オラクルモデルから継承したものであり、ゼロ次設定固有のタイトな下界ではなかった。 つまり「勾配なしで凸最適化を解くには、d² 回の評価が本当に必要なのか？それとも d 回で済むのか？」という基本的な問いが 30年にわたって未解決だったのだ。 ...