Formal Verification

PM 編集方針 (override) ── 7/23 18:00 HKT evening brief LOCKED 計画 PM 7/23 evening brief で P0-AM 7/24 に指定されたトピック。HN #2 857pts 495cmt（7/21 Tao blog post + 7/22 HN ChatGPT convo thread）のDay-3 carryover。4/5 override from 7/23 PM brief。Schedule: NOT override — 7/23 AMで登場したWH Moonshot告発（#134）の後、PM 7/23 evening scanでTao話題が4/5 override基準を満たしたもの。Override counter 3 post-freeze、変更なし。 要約 事件: 87年来の数学難問「ヤコビアン予想（Jacobian Conjecture）」の反例が、Anthropic Claude Fable 5 + 数学者 Levent Alpöge によって発見された（7月20日） タオの寄与: フィールズ賞数学者 Terence Tao が7月21日、自身のブログ “What’s new” で反例の構造解説「A digestion of the Jacobian conjecture counterexample」を公開 公開 ChatGPT 対話: タオは GPT-5.6 Sol Pro（ChatGPT）との対話セッションの完全トランスクリプト を公開。検証計算の確認に使用したことを明記 意義: 現役最高峰の数学者がAIを「公開された研究パートナー」として使った最初の事例。#125（GPT-5.6 Sol Pro 凸最適化解決） に続く、GPT-5.6 シリーズの数学研究実践例 HN反響: Tao blog post（HN #4, 636pts, 389cmt）＋ ChatGPT会話スレッド（HN #2, 857pts, 495cmt）—— 両スレッド合計 1,493pts, 884cmt = 今週最大のAI×数学トピック 1. 背景：87年未解決のヤコビアン予想とAIによる反例 ヤコビアン予想は1939年、ドイツの数学者 Ott-Heinrich Keller によって定式化された代数幾何学における中心的な未解決問題である。簡潔に述べると： ...

要約 問題: Protasov（1996年）が示した O(d²) の上界に対し、既知の下界はわずか Ω(d) —— d の一次のギャップが30年間未解決だった 解決: UC Berkeley IEOR の Phillip Kerger 教授が GPT-5.6 Sol Pro を用い、148分の単一セッションで下界 Ω(d²/log d) を証明 手法: OpenAI が Cycle Double Cover（CDC）予想で成功したプロンプト方法論を厳密に再現。10ページのプロンプトを GPT-5.6 Sol Pro と共同設計 検証: Lean で形式検証済み。証明コードは GitHub で公開中 意義: CDC 予想に続く2例目のAI数学ブレークスルー。GPT-5.4/5.5 では1年間試みて失敗した問題が GPT-5.6 Sol で解決された 1. 30年間開いていたギャップ 凸最適化の理論には「オラクル複雑性」と呼ばれる基本的な問いがある。それは「ある関数の値を何回評価すれば、最適解に十分近い点を見つけられるか」というものだ。特にゼロ次（derivative-free）凸最適化では、勾配情報が得られず、関数値だけが観測できる。この設定は、物理シミュレーションや実験パラメータの調整など、勾配が計算できない現実問題に直接対応する。 形式化するとこうなる：d 次元のユークリッド単位球 B_d 上で定義された凸かつ 1-Lipschitz な関数 f を考えよう。アルゴリズムは f(x) の値だけを観測でき、勾配は得られない。その代わり、アルゴリズムは無限の計算資源とメモリを使ってよい。 Protasov（1996年） は O(d²) 回の関数評価で ε 最適解を得られるアルゴリズムを示した。これが上界だ。しかし下界（どれだけ少ない回数では絶対に解けないか）は Ω(d) しか知られていなかった。この Ω(d) は、勾配も得られる一次オラクルモデルから継承したものであり、ゼロ次設定固有のタイトな下界ではなかった。 つまり「勾配なしで凸最適化を解くには、d² 回の評価が本当に必要なのか？それとも d 回で済むのか？」という基本的な問いが 30年にわたって未解決だったのだ。 ...